متتالية حسابية هندسية ونقطة ثابتة

التمرين 3 — المتتالية الحسابية-الهندسية

نعتبر المتتالية $(u_n)$ المعرفة بما يلي: $u_0=1$ ولكل $n\in \mathbb{N}$ :

$u_{n+1}=\frac{1}{3}\times u_n+4$

1. احسب $u_1$, $u_2$, $u_3$. هل المتتالية $(u_n)$ حسابية؟ هندسية؟ علل جوابك.
2. نضع $l=\frac{1}{3}\times l+4$. حل هذه المعادلة وأوجد العدد الحقيقي $l$ الذي يسمى النقطة الثابتة للمتتالية.
3. نضع، لكل $n\in \mathbb{N}$ : $w_n=u_n-l$. بين أن $(w_n)$ متتالية هندسية مع تحديد حدها الأول وأساسها.
4. استنتج تعبير $u_n$ بدلالة $n$.
5. ادرس رتابة $(u_n)$ وحدد نهايتها.