متتالية هندسية، ترجع وتقارب

نعتبر المتتالية ($u_n$) المعرفة بما يلي:

$u_0=4$   و   $u_{n+1}=\frac{1}{3}\times u_n+2$, لكل $n\in \mathbb{N}$.

1. النقطة الثابتة: حدد العدد الحقيقي $\ell$ بحيث $\ell =\frac{1}{3}\ell +2$.
2. المتتالية المساعدة: نضع $v_n=u_n-\ell$ لكل $n\in \mathbb{N}$.
   1. بين أن ($v_n$) متتالية هندسية يجب تحديد حدها الأول وأساسها.
   2. عبر عن $v_n$ ثم عن $u_n$ بدلالة $n$.
3. البرهان بالترجع: بين بالترجع أنه، لكل $n\in \mathbb{N}$: $u_n>3$.
4. الرتابة والتقارب:
   1. ادرس إشارة $u_{n+1}-u_n$ واستنتج اتجاه تغير المتتالية ($u_n$).
   2. استنتج أن ($u_n$) متقاربة وحدد نهايتها.