دراسة متتالية معرفة بعلاقة تراجعية ومقارنة

نعتبر المتتالية $(u_n)$ المعرفة بما يلي :

$u_0=1$   و   $u_{n+1}=u_n^2+u_n-1$   لا تستخدم هنا.

نعتبر بدلاً من ذلك المتتالية $(u_n)$ المعرفة بما يلي :

$u_1=2$   ولكل $n\ge 1$ :   $u_{n+1}=\frac{n\times u_n+4}{n+1}$.

نقبل أن جميع حدود المتتالية موجبة قطعا.

1. حساب الحدود : أحسب $u_2$ و $u_3$ و $u_4$. ضع تخمينا حول شكل $u_n$.
2. البرهان بالترجع : بين بالترجع أنه لكل عدد صحيح $n\ge 1$ :

   $u_n=\frac{n+3}{n}$.

3. الرتابة :
   1. ادرس إشارة $u_{n+1}-u_n$ من أجل $n\ge 1$.
   2. استنتج اتجاه تغير المتتالية $(u_n)$ من أجل $n\ge 1$.
4. النهاية :
   1. أحسب $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$.
   2. بين أن $u_n>1$ لكل $n\ge 1$ ، وفسر هندسيا هذه النتيجة بالنسبة للنهاية.
5. المجموع الجزئي : نضع $S_n=\sum _{k=1}^n{u}_k$.
   1. عبر عن $S_n$ بدلالة $n$ باستخدام الصيغة الصريحة التي تم تحديدها في السؤال 2.
   2. استنتج مكافئا بسيطا لـ $S_n$ عندما يؤول $n$ إلى $+\infty$ ، أي عدد حقيقي $\alpha$ وحد مهيمن بحيث $S_n\sim \alpha \times n$.