لكل عدد صحيح n ∈ N *، نعرف: u n = n ( n + 1 ) 1 تحقق من أنه لكل n ∈ N *: n ( n + 1 ) 1 = n 1 − n + 1 1 (تفكيك إلى عناصر بسيطة). استنتج القيمة الدقيقة للمجموع S n = u 1 + u 2 + ⋯ + u n . احسب نهاية S n عندما n → + ∞ . فسّر النتيجة. نضع الآن v n = n × u n = n ( n + 1 ) n = n + 1 1 من أجل n ≥ 1 ، ونعتبر المتتالية ( T n ) المعرفة بـ: T n = v 1 + v 2 + ⋯ + v n = 2 1 + 3 1 + ⋯ + n + 1 1 . a) بيّن أنه لكل n ≥ 1 : ln ( n + 1 ) ≤ T n ≤ ln ( n + 1 ) + 2 1 . (نقبل أنه لكل k ≥ 1 : ln ( k + 1 ) − ln ( k ) ≤ k 1 ≤ ln ( k ) − ln ( k − 1 ) من أجل k ≥ 2 .) b) حدد نهاية T n عندما n → + ∞ .

متتاليات، مجاميع تلسكوبية ونهايات

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Source-style : BAC France Spé Maths 2024

Inspiré du style BAC France Spé Maths 2024

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

لكل عدد صحيح n $\in$ $N$ *، نعرف:

$u_{n} = \frac{1}{n ( n + 1 )}$

تحقق من أنه لكل n $\in$ $N$ *: $\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ (تفكيك إلى عناصر بسيطة).
استنتج القيمة الدقيقة للمجموع $S_{n} = u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n}$ .
احسب نهاية $S_{n}$ عندما $n \to + \infty$ . فسّر النتيجة.
نضع الآن $v_{n} = n \times u_{n} = \frac{n}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n + 1}$ من أجل $n \geq 1$ ، ونعتبر المتتالية $(T_{n})$ المعرفة بـ:
$T_{n} = v_{1} + v_{2} + \dots + v_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n + 1}$ .
a) بيّن أنه لكل $n \geq 1$ : $ln (n + 1) \leq T_{n} \leq ln (n + 1) + \frac{1}{2}$ .
(نقبل أنه لكل $k \geq 1$ : $ln (k + 1) - ln (k) \leq \frac{1}{k} \leq ln (k) - ln (k - 1)$ من أجل $k \geq 2$ .)
b) حدد نهاية $T_{n}$ عندما $n \to + \infty$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

ضع $\\frac{1}{n}-\\frac{1}{n+1}$ على نفس المقام لاسترجاع $u_n$.

2 الإرشاد 2

استعمل التفكيك الذي وجدته لكتابة $S_n$ كمجموع تلاشي حيث تنعدم جل الحدود.

3 الإرشاد 3

من أجل الجزء 4، أحصر $\\frac{1}{k+1}$ بين فرقين متتاليين من اللوغاريتمات (تكامل دالة متناقصة)، ثم اجمع هذه المتراجحات من $k=1$ إلى $n$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

ضع $f r a c 1 n - f r a c 1 n + 1$ على نفس المقام لاسترجاع $u_{n}$ .

استعمل التفكيك الذي وجدته لكتابة $S_{n}$ كمجموع تلاشي حيث تنعدم جل الحدود.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points