نعتبر المتتالية ( u n ) المعرفة بما يلي: u 0 = 0 ولكل n ∈ N : u n + 1 = u n + 4 2 u n + 3 احسب u 1 , u 2 . خَمِّن النهاية المحتملة للمتتالية. نضع، لكل n ∈ N : w n = u n − 3 (حيث 3 ≈ 1 , 732 ). بين أن w n + 1 = u n + 4 2 − 3 × w n . نفرض أن 0 ≤ u n ≤ 3 لكل n ∈ N . استنتج أن ∣ w n + 1 ∣ ≤ 4 2 − 3 × ∣ w n ∣ . برهن أن ∣ w n ∣ ≤ ( 4 2 − 3 ) n × 3 لكل n ∈ N . برهن بالترجع أن، لكل n ∈ N : 0 ≤ u n ≤ 3 . استنتج أن المتتالية ( u n ) متقاربة وحدد نهايتها. سؤال إضافي : ادرس رتابة المتتالية ( u n ) .

متتالية ترجعية، نقطة ثابتة وتقارب

Difficile Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

نعتبر المتتالية $(u_{n})$ المعرفة بما يلي: $u_{0} = 0$ ولكل $n \in N$ :

$u_{n + 1} = \frac{2 u _{n} + 3}{u _{n} + 4}$

احسب $u_{1}$ , $u_{2}$ . خَمِّن النهاية المحتملة للمتتالية.
نضع، لكل $n \in N$ : $w_{n} = u_{n} - 3$ (حيث $3 \approx 1, 732$ ).
1. بين أن $w_{n + 1} = \frac{2 - 3}{u _{n} + 4} \times w_{n}$ .
2. نفرض أن $0 \leq u_{n} \leq 3$ لكل $n \in N$ . استنتج أن $∣ w_{n + 1} ∣ \leq \frac{2 - 3}{4} \times ∣ w_{n} ∣$ .
3. برهن أن $∣ w_{n} ∣ \leq (\frac{2 - 3}{4})^{n} \times 3$ لكل $n \in N$ .
برهن بالترجع أن، لكل $n \in N$ : $0 \leq u_{n} \leq 3$ .
استنتج أن المتتالية $(u_{n})$ متقاربة وحدد نهايتها.
سؤال إضافي : ادرس رتابة المتتالية $(u_{n})$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

من اجل $u_1$ و $u_2$، عوض مباشرة $n=0$ ثم $n=1$ في صيغة التراجع.

2 الإرشاد 2

من اجل التعبير عن $w_{n+1}$، عوض $u_{n+1}$ بصيغته في $w_{n+1}=u_{n+1}-1$ وضع كل شيء على نفس المقام.

3 الإرشاد 3

من اجل البرهان بالتراجع على $0 \leq u_n \leq 1$، ادرس رتابة الدالة $g(x)=\dfrac{2x+3}{x+4}$ لتاطير $u_{n+1}=g(u_n)$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

من اجل $u_{1}$ و $u_{2}$ ، عوض مباشرة $n = 0$ ثم $n = 1$ في صيغة التراجع.

من اجل التعبير عن $w_{n + 1}$ ، عوض $u_{n + 1}$ بصيغته في $w_{n + 1} = u_{n + 1} - 1$ وضع كل شيء على نفس المقام.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points