التمرين 5 لتكن f الدالة المعرفة على [ 1 ; + ∞ [ بما يلي: f ( x ) = x + 1 x + 3 . نعتبر المتتالية ( a n ) n ∈ N المعرفة بـ a 0 = 1 و a n + 1 = f ( a n ) لكل n ∈ N . حل المعادلة f ( x ) = x على [ 1 ; + ∞ [ . نرمز للحل المحصل عليه بـ ℓ . بين أنه لكل x ≥ 1 , لدينا 1 ≤ f ( x ) ≤ 2 . بين بالترجع أنه لكل n ∈ N , لدينا 1 ≤ a n ≤ 2 . ادرس إشارة a n + 1 − a n حسب موقع a n بالنسبة لـ ℓ . ماذا تستنتج بخصوص سلوك المتتالية حول ℓ ؟ نضع b n = a n − ℓ . بين أن ∣ b n + 1 ∣ ≤ k ∣ b n ∣ من أجل ثابت k ∈ ] 0 ; 1 [ سنحدده. استنتج أن n → + ∞ lim a n = ℓ .

المتتاليات المتداخلة: التقارب والنقطة الثابتة

Difficile Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

التمرين 5

لتكن $f$ الدالة المعرفة على $[1; + \infty [$ بما يلي: $f (x) = \frac{x + 3}{x + 1}$ .

نعتبر المتتالية $(a_{n})_{n \in N}$ المعرفة بـ $a_{0} = 1$ و $a_{n + 1} = f (a_{n})$ لكل $n \in N$ .

حل المعادلة $f (x) = x$ على $[1; + \infty [$ . نرمز للحل المحصل عليه بـ $ℓ$ .
بين أنه لكل $x \geq 1$ , لدينا $1 \leq f (x) \leq 2$ .
بين بالترجع أنه لكل $n \in N$ , لدينا $1 \leq a_{n} \leq 2$ .
ادرس إشارة $a_{n + 1} - a_{n}$ حسب موقع $a_{n}$ بالنسبة لـ $ℓ$ . ماذا تستنتج بخصوص سلوك المتتالية حول $ℓ$ ؟
نضع $b_{n} = a_{n} - ℓ$ . بين أن $∣ b_{n + 1} ∣ \leq k ∣ b_{n} ∣$ من أجل ثابت $k \in] 0; 1 [$ سنحدده. استنتج أن $n \to + \infty lim a_{n} = ℓ$ .

إرشادات

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

بالنسبة للسؤال 1، حل $\frac{x+3}{x+1}=x$ بالضرب في $(x+1)$ وحل المعادلة من الدرجة الثانية المحصلة.

2 الإرشاد 2

بالنسبة للسؤالين 2 و3، ادرس العبارتين $f(x)-1$ و $f(x)-2$ بوضعهما على نفس المقام لتحديد إشارتهما، ثم استعمل تراجعا بسيطا لتأطير $a_n$.

3 الإرشاد 3

بالنسبة للسؤالين 4 و5، حلل $a_{n+1}-a_n$ لإظهار $(\sqrt{3}-a_n)(\sqrt{3}+a_n)$، ثم من أجل الانكماش احسب $f(x)-f(\ell)$ بوضعه على نفس المقام لإظهار $b_n = a_n-\ell$ كعامل.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

الطريقة — من أين نبدأ

بالنسبة للسؤال 1، حل $\frac{x + 3}{x + 1} = x$ بالضرب في $(x + 1)$ وحل المعادلة من الدرجة الثانية المحصلة.

بالنسبة للسؤالين 2 و3، ادرس العبارتين $f (x) - 1$ و $f (x) - 2$ بوضعهما على نفس المقام لتحديد إشارتهما، ثم استعمل تراجعا بسيطا لتأطير $a_{n}$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

متتالية معرفة بعلاقة تراجعية دراسة شاملة كل تمارين الدرس وضعية مشكلة: ادخار ومتتالية مختلطة

المتتاليات المتداخلة: التقارب والنقطة الثابتة

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

المتتاليات المتداخلة: التقارب والنقطة الثابتة

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

Valider votre réponse

لقد شاهدت 5 تمارين اليوم 🎯