Situation-problème : épargne et suite mixte — Niveau difficile

Exercice 6. Une entreprise a Marrakech verse a un employe, en debut de chaque annee, une prime dont le montant evolue en deux phases. Phase 1 (annees $1$ a $N$) : chaque prime est superieure de $500$ dirhams a la precedente, la prime de la 1re annee etant de $2000$ dirhams. Phase 2 (a partir de l'annee $N+1$) : chaque prime est multipliee par $1,05$ par rapport a la precedente. On note $P_n$ la prime versee l'annee $n$ ($n\ge 1$). 1) Exprimer $P_n$ pour $1\le n\le N$, puis calculer $S_1=P_1+\cdots +P_N$ en fonction de $N$. 2) On prend $N=10$. Calculer $P_{10}$ et $S_1$. 3) Avec $N=10$, exprimer $P_n$ pour $n\ge 11$ en fonction de $n$. 4) Calculer $S_2=P_{11}+P_{12}+\cdots +P_{20}$.