متتاليات متداخلة، مقارنة حسابية-هندسية ومتراجحة

التمرين 6 — دراسة مقارنة ومتراجحة اعتيادية

نعتبر المتتالية الحسابية $(p_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ التي حدها الأول $p_0=1$ وأساسها $r=2$، والمتتالية الهندسية $(q_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ التي حدها الأول $q_0=1$ وأساسها $s=2$.

1. عبر عن $p_n$ و $q_n$ بدلالة $n$.
2. أ. برهن بالترجع أنه لكل $n\in \mathbb{N}$ : $p_n\le q_n$، أي $1+2n\le 2^n$.
   ب. ما هي قيم $n$ التي من أجلها تتحقق المساواة؟
3. نعرف المتتالية $(R_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ بواسطة $R_n=p_n÷q_n=(1+2n)÷2^n$.
   أ. بين أن $R_{n+1}÷R_n=(3+2n)÷(2+4n)$ لكل $n\in \mathbb{N}$.
   ب. ادرس إشارة $R_{n+1}-R_n$ لكل $n\ge 1$ واستنتج رتابة المتتالية $(R_n)$ ابتداءً من الرتبة 1.
   ج. حدد $\underset{n\to +\infty }{\lim }{R}_n$.
4. احسب المجموع $S_n=p_0+p_1+\dots +p_n$ والمجموع $T_n=q_0+q_1+\dots +q_n$، ثم قارن $S_n$ و $T_n$ من أجل $n\ge 2$.