Suite $u_{n+1}=\frac{u_n^2+2}{2u_n+1}$ — Bac Sénégal 2023

Exercice 3

On considère la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par : $u_0=1$ et $u_{n+1}=\frac{u_n^2+2}{2u_n+1}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
2. Montrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $1\le u_n\le 2$.
3. Étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$. En déduire le sens de variation de $(u_n)$.
4. En déduire que $(u_n)$ est convergente. (On admettra que si $(u_n)$ est croissante et majorée par 2, elle converge vers une limite $\ell \le 2$.)
5. Déterminer la limite $\ell$ de $(u_n)$.