Exercice 2 On considère la suite ( v n ) n ∈ N définie par : v n = 4 × ( 2 1 ) n pour tout n ∈ N . Montrer que ( v n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. Calculer v 3 et v 10 . Calculer la somme S n = v 0 + v 1 + ... + v n . Déterminer la limite de v n quand n tend vers + ∞ . La suite est-elle convergente ?

Suite géométrique et limite — niveau facile — Bac Sénégal 2023

Facile Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Exercice 2

On considère la suite $(v_{n})_{n \in N}$ définie par : $v_{n} = 4 \times (\frac{1}{2})^{n}$ pour tout $n \in N$ .

Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
Calculer $v_{3}$ et $v_{10}$ .
Calculer la somme $S_{n} = v_{0} + v_{1} + ... + v_{n}$ .
Déterminer la limite de $v_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ . La suite est-elle convergente ?

Indices

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1 Indice 1

Pour montrer qu'une suite est géométrique, calcule le rapport $\dfrac{v_{n+1}}{v_n}$ en remplaçant $n$ par $n+1$ dans la formule. Si ce rapport est constant, tu as ta raison $q$.

2 Indice 2

Utilise la propriété des puissances : $\dfrac{(\frac{1}{2})^{n+1}}{(\frac{1}{2})^n} = (\frac{1}{2})^{n+1-n}$. Pour la somme $S_n$, applique la formule $v_0 \times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ avec les valeurs trouvées.

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Pour montrer qu'une suite est géométrique, calcule le rapport $\frac{v _{n + 1}}{v _{n}}$ en remplaçant $n$ par $n + 1$ dans la formule. Si ce rapport est constant, tu as ta raison $q$ .

Utilise la propriété des puissances : $\frac{( \frac{1}{2} ) ^{n + 1}}{( \frac{1}{2} ) ^{n}} = (\frac{1}{2})^{n + 1 - n}$ . Pour la somme $S_{n}$ , applique la formule $v_{0} \times \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ avec les valeurs trouvées.

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