Suites imbriquées, comparaison arithmétique-géométrique et inégalité

Exercice 6 — Étude comparative et inégalité classique

Soit $(p_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ la suite arithmétique de premier terme $p_0=1$ et de raison $r=2$, et $(q_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ la suite géométrique de premier terme $q_0=1$ et de raison $s=2$.

1. Exprimer $p_n$ et $q_n$ en fonction de $n$.
2. a. Démontrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $p_n\le q_n$, c'est-à-dire $1+2n\le 2^n$.
   b. Pour quelles valeurs de $n$ a-t-on l'égalité ?
3. On définit la suite $(R_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ par $R_n=p_n÷q_n=(1+2n)÷2^n$.
   a. Montrer que $R_{n+1}÷R_n=(3+2n)÷(2+4n)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
   b. Étudier le signe de $R_{n+1}-R_n$ pour tout $n\ge 1$ et en déduire le sens de variation de $(R_n)$ à partir du rang 1.
   c. Déterminer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{R}_n$.
4. Calculer la somme $S_n=p_0+p_1+\dots +p_n$ et la somme $T_n=q_0+q_1+\dots +q_n$, puis comparer $S_n$ et $T_n$ pour $n\ge 2$.