متتالية $u_{n+1}=\frac{u_n^2+2}{2u_n+1}$ — بكالوريا السنغال 2023

التمرين 3

نعتبر المتتالية $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ المعرفة بما يلي: $u_0=1$ و $u_{n+1}=\frac{u_n^2+2}{2u_n+1}$ لكل $n\in \mathbb{N}$.

1. احسب $u_1$ و $u_2$.
2. بين بالترجع أن لكل $n\in \mathbb{N}$، $1\le u_n\le 2$.
3. ادرس إشارة $u_{n+1}-u_n$. استنتج رتابة المتتالية $(u_n)$.
4. استنتج أن $(u_n)$ متقاربة. (نقبل أنه إذا كانت $(u_n)$ تزايدية ومكبورة بالعدد 2، فإنها تتقارب نحو نهاية $\ell \le 2$.)
5. حدد النهاية $\ell$ للمتتالية $(u_n)$.