متتالية ترجعية، هندسية مساعدة ونهاية

التمرين 4

نعتبر المتتالية $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ المعرفة بـ: $a_0=0$ و $a_{n+1}=\frac{2}{3}\times a_n+4$ لكل $n\in \mathbb{N}$.

1. نضع $b_n=a_n-\ell$، حيث $\ell$ هو العدد الحقيقي الذي يحقق $\ell =\frac{2}{3}\ell +4$. عيّن $\ell$، ثم بيّن أن $(b_n)$ متتالية هندسية مع تحديد أساسها وحدها الأول.
2. عبّر عن $b_n$ ثم $a_n$ بدلالة $n$.
3. ادرس رتابة $(a_n)$.
4. عيّن نهاية $(a_n)$ عندما $n\to +\infty$.
5. عيّن أصغر عدد صحيح طبيعي $n$ بحيث $a_n\ge 11,9$.