متتالية $u_{n+1}=\frac{u_n}{2}+2$ — بكالوريا السنغال 2023

التمرين 3

نعتبر المتتالية $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ المعرفة بما يلي: $u_0=1$ و $u_{n+1}=\frac{u_n}{2}+2$ لكل $n\in \mathbb{N}$.

1. احسب $u_1$ و $u_2$ و $u_3$. ضع تخميناً حول رتابة $(u_n)$ وحول تقاربها المحتمل.
2. برهن بالترجع أن لكل $n\in \mathbb{N}$: $u_n\le 4$.
3. بين أن لكل $n\in \mathbb{N}$: $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{2}(u_n-4)$ - $(u_n-4)$/...
   بشكل أدق، بين أن $u_{n+1}-u_n\ge 0$ لكل $n\in \mathbb{N}$. استنتج أن $(u_n)$ تزايدية.
4. استنتج أن $(u_n)$ متقاربة. نفترض أن نهايتها $\ell$ تحقق $\ell =\frac{\ell }{2}+2$. حل هذه المعادلة واستنتج.