Étude complète d'une suite définie par récurrence et somme

Exercice — Suites numériques (Niveau : Difficile) On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_0=2$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\frac{2u_n+3}{u_n+2}$. Partie A — Étude de la suite $(u_n)$ 1) Calculer $u_1$ et $u_2$. Émettre une conjecture sur le signe de $u_n-\sqrt{3}$. 2) Montrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n>0$. 3) a) Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_{n+1}-\sqrt{3}=\frac{(u_n-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}{u_n+2}$. b) En déduire par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n>\sqrt{3}$. 4) a) Montrer que $u_{n+1}-u_n=\frac{3-u_n^2}{u_n+2}$. b) En déduire que la suite $(u_n)$ est décroissante. c) Conclure que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.