Transformation en suite géométrique — Niveau intermédiaire

Exercice 4

On considère la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par : $u_0=3$ et $u_{n+1}=2u_n-5$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$.
2. On pose $v_n=u_n-5$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
   a) Calculer $v_0$.
   b) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
3. En déduire l'expression de $v_n$ puis de $u_n$ en fonction de n.
4. Calculer la somme $S_n=u_0+u_1+\dots +u_n$ en fonction de n.
5. Étudier le sens de variation de $(u_n)$ et sa limite en $+\infty$.