Suite $u_{n+1}=\frac{u_n}{2}+2$ — Bac Sénégal 2023

Exercice 3

On considère la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par : $u_0=1$ et $u_{n+1}=\frac{u_n}{2}+2$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$. Émettre une conjecture sur le sens de variation de $(u_n)$ et sur sa convergence éventuelle.
2. Démontrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_n\le 4$.
3. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{2}(u_n-4)$ - $(u_n-4)$/...
   Plus précisément, montrer que $u_{n+1}-u_n\ge 0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. En déduire que $(u_n)$ est croissante.
4. En déduire que $(u_n)$ est convergente. On admettra que sa limite $\ell$ vérifie $\ell =\frac{\ell }{2}+2$. Résoudre cette équation et conclure.