تمرين — المتتاليات العددية (المستوى: صعب) نعتبر المتتالية ( u n ) المعرفة بما يلي: u 0 = 1 و، لكل n ∈ N ، u n + 1 = u n + 2 2 u n + 3 . الجزء الأول — دراسة المتتالية ( u n ) احسب u 1 و u 2 . ضع تخميناً حول إشارة u n − 3 . بين بالترجع أن، لكل n ∈ N ، u n > 0 . أ) بين أن، لكل n ∈ N : u n + 1 − 3 = u n + 2 ( u n − 3 ) ( 2 − 3 ) . ب) استنتج بالترجع أن، لكل n ∈ N ، u n > 3 . أ) بين أن u n + 1 − u n = u n + 2 3 − u n 2 . ب) استنتج أن المتتالية ( u n ) تناقصية. ج) استنتج أن المتتالية ( u n ) متقاربة. حدد نهايتها L . الجزء الثاني — متتالية مساعدة وصيغة صريحة تقريبية نضع، لكل n ∈ N ، w n = u n + 3 u n − 3 . أ) بين أن ( w n ) متتالية هندسية أساسها q = 2 + 3 2 − 3 واحسب w 0 . ب) عبر عن w n بدلالة n ، ثم عبر عن u n بدلالة n و 3 . نضع S n = k = 0 ∑ n u k . باستخدام التأطير 3 < u k ≤ 1 (مقبول لـ k ≥ 1 )، بين أن : ( n + 1 ) 3 < S n ≤ 1 + n ⋅ 3 5 لكل n ≥ 1 . (نقبل أن u k ≤ 3 5 لكل k ≥ 1 .)

دراسة متتالية معرفة بعلاقة تراجعية ومجموع

Difficile Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

تمرين — المتتاليات العددية (المستوى: صعب)

نعتبر المتتالية ( $u_{n}$ ) المعرفة بما يلي: $u_{0} = 1$ و، لكل $n \in N$ ، $u_{n + 1} = \frac{2 u _{n} + 3}{u _{n} + 2}$ .

الجزء الأول — دراسة المتتالية ( $u_{n}$ )

احسب $u_{1}$ و $u_{2}$ . ضع تخميناً حول إشارة $u_{n} - 3$ .
بين بالترجع أن، لكل $n \in N$ ، $u_{n} > 0$ .
أ) بين أن، لكل $n \in N$ : $u_{n + 1} - 3 = \frac{( u _{n} - 3 ) ( 2 - 3 )}{u _{n} + 2}$ .
ب) استنتج بالترجع أن، لكل $n \in N$ ، $u_{n} > 3$ .
أ) بين أن $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{3 - u _{n}^{2}}{u _{n} + 2}$ .
ب) استنتج أن المتتالية ( $u_{n}$ ) تناقصية.
ج) استنتج أن المتتالية ( $u_{n}$ ) متقاربة. حدد نهايتها $L$ .

الجزء الثاني — متتالية مساعدة وصيغة صريحة تقريبية

نضع، لكل $n \in N$ ، $w_{n} = \frac{u _{n} - 3}{u _{n} + 3}$ .
أ) بين أن ( $w_{n}$ ) متتالية هندسية أساسها $q = \frac{2 - 3}{2 + 3}$ واحسب $w_{0}$ .
ب) عبر عن $w_{n}$ بدلالة $n$ ، ثم عبر عن $u_{n}$ بدلالة $n$ و $3$ .
نضع $S_{n} = k = 0 \sum n u_{k}$ . باستخدام التأطير $3 < u_{k} \leq 1$ (مقبول لـ $k \geq 1$ )، بين أن :
$(n + 1) 3 < S_{n} \leq 1 + n \cdot \frac{5}{3}$ لكل $n \geq 1$ .
(نقبل أن $u_{k} \leq \frac{5}{3}$ لكل $k \geq 1$ .)

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

لحساب $u_1$ و $u_2$، عوض ببساطة $u_n$ بقيمته السابقة في صيغة التراجع.

2 الإرشاد 2

من اجل الخطوة 3أ، احسب $u_{n+1} - \sqrt{3}$ بوضع كل شيء على نفس المقام، ثم حاول تحليل البسط بواسطة $(u_n - \sqrt{3})$.

3 الإرشاد 3

من اجل الرتابة، احسب $u_{n+1} - u_n$ وادرس اشارة $3 - u_n^2$ باستعمال كون $u_n > \sqrt{3}$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

لحساب $u_{1}$ و $u_{2}$ ، عوض ببساطة $u_{n}$ بقيمته السابقة في صيغة التراجع.

من اجل الخطوة 3أ، احسب $u_{n + 1} - 3$ بوضع كل شيء على نفس المقام، ثم حاول تحليل البسط بواسطة $(u_{n} - 3)$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points