التمرين 3 نعتبر المتتالية ( w n ) n ∈ N المعرفة بما يلي: w 0 = 1 و w n + 1 = 2 w n + 1 w n 2 + 2 لكل n ∈ N . احسب w 1 و w 2 . ضع تخمينا حول إشارة w n − 1 . برهن بالترجع أن w n ≥ 1 لكل n ∈ N . ادرس إشارة w n + 1 − w n بدلالة w n ، ثم استنتج رتابة المتتالية ( w n ) . هل المتتالية ( w n ) متقاربة؟ علل جوابك. إذا كانت كذلك، احسب نهايتها ℓ .

البرهان بالترجع والرتابة

Intermédiaire Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

التمرين 3

نعتبر المتتالية $(w_{n})_{n \in N}$ المعرفة بما يلي: $w_{0} = 1$ و $w_{n + 1} = \frac{w _{n}^{2} + 2}{2 w _{n} + 1}$ لكل $n \in N$ .

احسب $w_{1}$ و $w_{2}$ . ضع تخمينا حول إشارة $w_{n} - 1$ .
برهن بالترجع أن $w_{n} \geq 1$ لكل $n \in N$ .
ادرس إشارة $w_{n + 1} - w_{n}$ بدلالة $w_{n}$ ، ثم استنتج رتابة المتتالية $(w_{n})$ .
هل المتتالية $(w_{n})$ متقاربة؟ علل جوابك. إذا كانت كذلك، احسب نهايتها $ℓ$ .

إرشادات

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1 الإرشاد 1

Pour calculer $w_1$ et $w_2$, remplace $n$ par $0$ puis par $1$ dans la formule de récurrence. Commence par $w_1 = \dfrac{w_0^2 + 2}{2w_0 + 1}$ en utilisant $w_0 = 1$.

2 الإرشاد 2

Pour la récurrence, calcule $w_{n+1} - 1$ en mettant au même dénominateur. Tu devrais obtenir $\dfrac{w_n^2 - 2w_n + 1}{2w_n + 1}$. Reconnais-tu une identité remarquable au numérateur ?

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Pour calculer $w_{1}$ et $w_{2}$ , remplace $n$ par $0$ puis par $1$ dans la formule de récurrence. Commence par $w_{1} = \frac{w _{0}^{2} + 2}{2 w _{0} + 1}$ en utilisant $w_{0} = 1$ .

Pour la récurrence, calcule $w_{n + 1} - 1$ en mettant au même dénominateur. Tu devrais obtenir $\frac{w _{n}^{2} - 2 w _{n} + 1}{2 w _{n} + 1}$ . Reconnais-tu une identité remarquable au numérateur ?

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