التمرين 5 — المتتالية التراجعية، الرتابة والتقارب نعتبر المتتالية ( a n ) n ∈ N المعرفة بما يلي: a 0 = 0 و a n + 1 = 2 + a n لكل n ∈ N . (نذكر أن x تشير إلى الجذر التربيعي الموجب.) احسب a 1 و a 2 و a 3 (القيم المضبوطة أو المقربة إلى 1 0 − 3 ). برهن بالترجع أن لكل n ∈ N : 0 ≤ a n ≤ 2 . برهن بالترجع أن المتتالية ( a n ) تزايدية، أي أن a n + 1 ≥ a n لكل n ∈ N . استنتج أن المتتالية ( a n ) متقاربة. نرمز لنهايتها بـ l . حدد l بحل المعادلة l = 2 + l . علل اختيار قيمة l . لتكن ( b n ) n ∈ N المتتالية المعرفة بـ b n = 2 − a n لكل n ∈ N . أ. بين أن b n + 1 ≤ 2 1 × b n لكل n ∈ N . ب. استنتج أن 0 ≤ b n ≤ 2 × ( 2 1 ) n ، ثم أن n → + ∞ lim b n = 0 .

برهان بالترجع ودراسة متتالية عقدية

Difficile Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

التمرين 5 — المتتالية التراجعية، الرتابة والتقارب

نعتبر المتتالية $(a_{n})_{n \in N}$ المعرفة بما يلي: $a_{0} = 0$ و $a_{n + 1} = 2 + a_{n}$ لكل $n \in N$ .

(نذكر أن $x$ تشير إلى الجذر التربيعي الموجب.)

احسب $a_{1}$ و $a_{2}$ و $a_{3}$ (القيم المضبوطة أو المقربة إلى $1 0^{- 3}$ ).
برهن بالترجع أن لكل $n \in N$ : $0 \leq a_{n} \leq 2$ .
برهن بالترجع أن المتتالية $(a_{n})$ تزايدية، أي أن $a_{n + 1} \geq a_{n}$ لكل $n \in N$ .
استنتج أن المتتالية $(a_{n})$ متقاربة. نرمز لنهايتها بـ $l$ .
حدد $l$ بحل المعادلة $l = 2 + l$ . علل اختيار قيمة $l$ .
لتكن $(b_{n})_{n \in N}$ المتتالية المعرفة بـ $b_{n} = 2 - a_{n}$ لكل $n \in N$ .
أ. بين أن $b_{n + 1} \leq \frac{1}{2} \times b_{n}$ لكل $n \in N$ .
ب. استنتج أن $0 \leq b_{n} \leq 2 \times (\frac{1}{2})^{n}$ ، ثم أن $n \to + \infty lim b_{n} = 0$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

في متتالية تراجعية، الحصر والرتابة يُبرهنان بالترجع باستعمال تزايد $\\sqrt{\\phantom{x}}$.

2 الإرشاد 2

في السؤال 2، من $0\\le a_n\\le 2$ استنتج $2\\le 2+a_n\\le 4$ ثم طبّق الجذر.

3 الإرشاد 3

للنهاية، حل $l=\\sqrt{2+l}$ بالتربيع واحتفظ بالحل الموجب.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

في متتالية تراجعية، الحصر والرتابة يُبرهنان بالترجع باستعمال تزايد $s q r t p han t o m x$ .

في السؤال 2، من $0 l e a_{n} l e 2$ استنتج $2 l e 2 + a_{n} l e 4$ ثم طبّق الجذر.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points