التمرين 3 نعتبر المتتالية ( u n ) n ∈ N المعرفة بما يلي: u 0 = 1 و u n + 1 = 2 u n + 3 لكل n ∈ N . احسب u 1 و u 2 و u 3 . بين بالترجع أن لكل n ∈ N : u n < 3 . بين أن المتتالية ( u n ) تزايدية. استنتج أن المتتالية ( u n ) متقاربة. نفترض أن نهايتها ℓ تحقق ℓ = 2 ℓ + 3 ، ثم احسب ℓ .

الترجع ورتابة متتالية

Intermédiaire Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

التمرين 3

نعتبر المتتالية $(u_{n})_{n \in N}$ المعرفة بما يلي: $u_{0} = 1$ و $u_{n + 1} = \frac{u _{n} + 3}{2}$ لكل $n \in N$ .

احسب $u_{1}$ و $u_{2}$ و $u_{3}$ .
بين بالترجع أن لكل $n \in N$ : $u_{n} < 3$ .
بين أن المتتالية $(u_{n})$ تزايدية.
استنتج أن المتتالية $(u_{n})$ متقاربة. نفترض أن نهايتها $ℓ$ تحقق $ℓ = \frac{ℓ + 3}{2}$ ، ثم احسب $ℓ$ .

إرشادات

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1 الإرشاد 1

Pour calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$, applique directement la formule de récurrence $u_{n+1} = \dfrac{u_n + 3}{2}$ en partant de $u_0 = 1$. Remplace et calcule pas à pas.

2 الإرشاد 2

Pour la récurrence, commence par vérifier que $u_0 < 3$. Ensuite, suppose $u_n < 3$ et ajoute 3 aux deux côtés de l'inégalité avant de diviser par 2 pour montrer que $u_{n+1} < 3$.

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Pour calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ , applique directement la formule de récurrence $u_{n + 1} = \frac{u _{n} + 3}{2}$ en partant de $u_{0} = 1$ . Remplace et calcule pas à pas.

Pour la récurrence, commence par vérifier que $u_{0} < 3$ . Ensuite, suppose $u_{n} < 3$ et ajoute 3 aux deux côtés de l'inégalité avant de diviser par 2 pour montrer que $u_{n + 1} < 3$ .

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