متتاليات حسابية وهندسية متداخلة - مسألة شاملة

نُعرف المتتاليتين ($a_n$) و ($b_n$) بما يلي: $a_0=1$ و $b_0=2$، ولكل $n\in \mathbb{N}$:

• $a_{n+1}=a_n+b_n$
• $b_{n+1}=2b_n$

الجزء A — دراسة المتتالية ($b_n$)

1. بين أن ($b_n$) متتالية هندسية. استنتج $b_n$ بدلالة n.

الجزء B — دراسة المتتالية ($a_n$)

2. بتعويض تعبير $b_n$، اكتب $a_{n+1}=a_n+2^{n+1}$.
3. باستخدام العلاقة من السؤال 2، بين أنه لكل $n\ge 1$:

$a_n=a_0+\sum _{k=1}^n{2}^k$ (المجموع من k=1 إلى n).

4. استنتج أن $a_n=2^{n+1}-1$ لكل $n\in \mathbb{N}$. (نذكر أن $\sum _{k=0}^n{2}^k$ تساوي $2^{n+1}-1$.)

الجزء C — تطبيق ومقارنة

5. بين أنه، لكل $n\in \mathbb{N}$: $a_n<b_n$.
6. ليكن $S_n=a_0+a_1+\dots +a_n$. احسب $S_n$ بدلالة n. (نذكر أن $\sum _{k=0}^n{2}^k$ تساوي $2^{n+1}-1$.)
7. حدد أصغر عدد صحيح n بحيث $S_n\ge 1000$.