البرهان بالترجع والتأطير

التمرين 6

نعتبر المتتالية $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ المعرفة بما يلي: $u_0=3$ و $u_{n+1}=\frac{u_n^2}{u_n+1}$ لكل $n\in \mathbb{N}$.

1. احسب $u_1$ و $u_2$. هل توحي هذه القيم بأن المتتالية تناقصية؟
2. بين بالترجع أن لكل $n\in \mathbb{N}$ : $u_n>1$.
3. بين أن المتتالية $(u_n)$ تناقصية قطعا.
4. استنتج أن المتتالية $(u_n)$ متقاربة. سنفترض أن نهايتها $\ell$ تحقق $\ell =\frac{{\ell }^2}{\ell +1}$ واحسب القيم الممكنة لـ $\ell$. أي منها متناسقة مع النتائج السابقة؟
5. نضع $w_n=\frac{1}{u_n}$ لكل $n\in \mathbb{N}$. بين أن $(w_n)$ تزايدية ومكبورة بالعدد 1. ماذا يمكن أن نستنتج؟