On considère la suite ( u n ) définie par : u 0 = 3 et, pour tout n ∈ N : u n + 1 = 2 1 × u n + 2 Calculer u 1 , u 2 et u 3 . On pose, pour tout n ∈ N : w n = u n − 4 . Montrer que ( w n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. Exprimer w n puis u n en fonction de n . Démontrer par récurrence que, pour tout n ∈ N : u n < 4 . Étudier la monotonie de la suite ( u n ), puis déterminer sa limite.

Démonstration par récurrence et suite définie par récurrence

Intermédiaire Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

On considère la suite ( $u_{n}$ ) définie par :

$u_{0} = 3$ et, pour tout $n \in N$ : $u_{n + 1} = \frac{1}{2} \times u_{n} + 2$

Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .
On pose, pour tout $n \in N$ : $w_{n} = u_{n} - 4$ .
1. Montrer que ( $w_{n}$ ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
2. Exprimer $w_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$ .
Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in N$ : $u_{n} < 4$ .
Étudier la monotonie de la suite ( $u_{n}$ ), puis déterminer sa limite.

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