Exercice 6 On considère la suite ( u n ) n ∈ N définie par : u 0 = 3 et u n + 1 = u n + 1 u n 2 pour tout n ∈ N . Calculer u 1 et u 2 . Ces valeurs suggèrent-elles que la suite est décroissante ? Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N : u n > 1 . Montrer que la suite ( u n ) est strictement décroissante. En déduire que la suite ( u n ) est convergente. On admettra que sa limite ℓ vérifie ℓ = ℓ + 1 ℓ 2 et on calculera les valeurs possibles de ℓ . Laquelle est cohérente avec les résultats précédents ? On pose w n = u n 1 pour tout n ∈ N . Montrer que ( w n ) est croissante et majorée par 1. Que peut-on en conclure ?

Démonstration par récurrence et encadrement — niveau difficile

Difficile Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Exercice 6

On considère la suite $(u_{n})_{n \in N}$ définie par : $u_{0} = 3$ et $u_{n + 1} = \frac{u _{n}^{2}}{u _{n} + 1}$ pour tout $n \in N$ .

Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ . Ces valeurs suggèrent-elles que la suite est décroissante ?
Montrer par récurrence que pour tout $n \in N$ : $u_{n} > 1$ .
Montrer que la suite $(u_{n})$ est strictement décroissante.
En déduire que la suite $(u_{n})$ est convergente. On admettra que sa limite $ℓ$ vérifie $ℓ = \frac{ℓ ^{2}}{ℓ + 1}$ et on calculera les valeurs possibles de $ℓ$ . Laquelle est cohérente avec les résultats précédents ?
On pose $w_{n} = \frac{1}{u _{n}}$ pour tout $n \in N$ . Montrer que $(w_{n})$ est croissante et majorée par 1. Que peut-on en conclure ?

Indices

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour $u_1$ et $u_2$, remplace directement dans la formule de récurrence $u_{n+1} = \\dfrac{u_n^2}{u_n+1}$.

2 Indice 2

Pour la récurrence $u_n > 1$, à l'étape d'hérédité étudie le signe de $u_{n+1} - 1 = \\dfrac{u_n^2-u_n-1}{u_n+1}$ en renforçant l'hypothèse si nécessaire.

3 Indice 3

Pour la décroissance, calcule $u_{n+1}-u_n$ en réduisant au même dénominateur $u_n+1$ ; tu devrais obtenir une expression clairement négative.

4 Indice 4

Pour la suite $w_n = \\dfrac{1}{u_n}$, utilise la décroissance de $(u_n)$ pour en déduire la monotonie de $(w_n)$, puis la minoration de $u_n$ pour trouver un majorant de $w_n$.

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Pour $u_{1}$ et $u_{2}$ , remplace directement dans la formule de récurrence $u_{n + 1} = df r a c u_{n}^{2} u_{n} + 1$ .

Pour la récurrence $u_{n} > 1$ , à l'étape d'hérédité étudie le signe de $u_{n + 1} - 1 = df r a c u_{n}^{2} - u_{n} - 1 u_{n} + 1$ en renforçant l'hypothèse si nécessaire.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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