لكل عدد صحيح n ∈ N ∗ ، نضع U n = k = 1 ∑ n k 2 1 = 1 + 2 2 1 + 3 2 1 + ⋯ + n 2 1 . بيّن أن المتتالية ( U n ) متزايدة. بيّن أنه من أجل كل k ≥ 2 : k 2 1 ≤ ( k − 1 ) k 1 ، ثم أن ( k − 1 ) k 1 = k − 1 1 − k 1 . استنتج أنه من أجل كل n ∈ N ∗ ، U n ≤ 2 − n 1 . استنتج أن ( U n ) متقاربة.

Suite croissante et majorée : convergence (somme des 1/k²)

Intermédiaire

لكل عدد صحيح $n \in N^{*}$ ، نضع $U_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{k ^{2}} = 1 + \frac{1}{2 ^{2}} + \frac{1}{3 ^{2}} + \dots + \frac{1}{n ^{2}}$ .

بيّن أن المتتالية $(U_{n})$ متزايدة.
بيّن أنه من أجل كل $k \geq 2$ : $\frac{1}{k ^{2}} \leq \frac{1}{( k - 1 ) k}$ ، ثم أن $\frac{1}{( k - 1 ) k} = \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}$ . استنتج أنه من أجل كل $n \in N^{*}$ ، $U_{n} \leq 2 - \frac{1}{n}$ .
استنتج أن $(U_{n})$ متقاربة.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points