Suite homographique convergente vers le point fixe

لتكن $(u_n)$ المتتالية المعرفة بـ $u_0=3$ و، لكل $n\in \mathbb{N}$، $u_{n+1}=\frac{8(u_n-1)}{u_n+2}$.

1. برهن بالترجع أنه لكل $n\in \mathbb{N}$ : $2<u_n<4$.

2. ادرس رتابة $(u_n)$ واستنتج أنها متقاربة.

3. لكل $n\in \mathbb{N}$، نضع $v_n=\frac{u_n-4}{u_n-2}$. بين أن $(v_n)$ هندسية، ثم عبر عن $v_n$ و $u_n$ بدلالة $n$ وحدد $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$.