Soit f définie sur [ 0 , π ] par f ( x ) = x cos x − sin x . a) Calculer f ′ ( x ) sur [ 0 , π ] . b) Dresser le tableau de variations de f . c) En déduire le signe de f sur [ 0 , π ] . Soit g définie sur ] 0 , π ] par g ( x ) = x sin x . a) Calculer g ′ ( x ) et étudier les variations de g . b) En déduire que : si 0 < a < b ≤ π alors b a < sin b sin a .

Étude trigonométrique et inégalité

Difficile

Soit $f$ définie sur $[0, π]$ par $f (x) = x cos x - sin x$ .
a) Calculer $f^{'} (x)$ sur $[0, π]$ .
b) Dresser le tableau de variations de $f$ .
c) En déduire le signe de $f$ sur $[0, π]$ .
Soit $g$ définie sur $] 0, π]$ par $g (x) = \frac{sin x}{x}$ .
a) Calculer $g^{'} (x)$ et étudier les variations de $g$ .
b) En déduire que : si $0 < a < b \leq π$ alors $\frac{a}{b} < \frac{sin a}{sin b}$ .

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1 Indice 1

Pour $f'(x)$, dérive le produit $x\cos x$ puis soustrais la dérivée de $\sin x$.

2 Indice 2

Étudie le signe de $f'(x)$ en remarquant que sur $[0,\pi]$, $x\geq 0$ et $\sin x\geq 0$.

3 Indice 3

Pour $g'(x)$, utilise la formule de dérivation d'un quotient et fais apparaître $f(x)$ au numérateur pour relier le signe de $g'$ à celui de $f$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour $f^{'} (x)$ , dérive le produit $x cos x$ puis soustrais la dérivée de $sin x$ .

Étudie le signe de $f^{'} (x)$ en remarquant que sur $[0, π]$ , $x \geq 0$ et $sin x \geq 0$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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