Montrer que ∀ x ≥ 0 : sin ( x ) ≤ x . Montrer que ∀ x ≥ 0 : cos ( x ) ≥ 1 − 2 x 2 . En déduire que ∀ x ≥ 0 : sin ( x ) ≥ x − 6 x 3 .

Démonstration d'une inégalité par dérivation

Difficile

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1 Indice 1

Pour la question 1, étudie $f(x) = x - \sin(x)$ : calcule $f'(x)$ et son signe sur $[0,+\infty[$.

2 Indice 2

Pour la question 2, étudie $g(x) = \cos(x) - 1 + \dfrac{x^2}{2}$ et utilise le résultat de la question 1 pour le signe de $g'$.

3 Indice 3

Pour la question 3, étudie $h(x) = \sin(x) - x + \dfrac{x^3}{6}$ et remarque que $h'(x)$ est exactement la fonction $g$ de la question 2.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour la question 1, étudie $f (x) = x - sin (x)$ : calcule $f^{'} (x)$ et son signe sur $[0, + \infty [$ .

Pour la question 2, étudie $g (x) = cos (x) - 1 + \frac{x ^{2}}{2}$ et utilise le résultat de la question 1 pour le signe de $g^{'}$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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