Soit f définie sur [ 0 ; π ] par f ( x ) = x cos x − sin x . a) Calculer f ′ ( x ) sur [ 0 ; π ] . b) Dresser le tableau de variations de f . c) En déduire le signe de f sur [ 0 ; π ] . Soit g définie sur ] 0 ; π ] par g ( x ) = x sin x . a) Calculer g ′ ( x ) sur ] 0 ; π ] et étudier les variations de g . b) En déduire que : 0 < a < b ≤ π ⇒ sin b sin a > b a .

Étude de fonctions trigonométriques et inégalité $\sin a/\sin b>a/b$

Difficile

Soit $f$ définie sur $[0; π]$ par $f (x) = x cos x - sin x$ .
a) Calculer $f^{'} (x)$ sur $[0; π]$ . b) Dresser le tableau de variations de $f$ . c) En déduire le signe de $f$ sur $[0; π]$ .
Soit $g$ définie sur $] 0; π]$ par $g (x) = \frac{sin x}{x}$ .
a) Calculer $g^{'} (x)$ sur $] 0; π]$ et étudier les variations de $g$ . b) En déduire que : $0 < a < b \leq π \Rightarrow \frac{sin a}{sin b} > \frac{a}{b}$ .

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1 Indice 1

Pour $f'(x)$, dérive le produit $x\cos x$ puis soustrais la dérivée de $\sin x$ ; simplifie les termes qui s'annulent.

2 Indice 2

Étudie le signe de $f'(x)=-x\sin x$ sur $]0;\pi[$ en observant les signes de $x$ et de $\sin x$ séparément.

3 Indice 3

Pour $g'(x)$, utilise la formule de dérivée d'un quotient et remarque que le numérateur obtenu est exactement $f(x)$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour $f^{'} (x)$ , dérive le produit $x cos x$ puis soustrais la dérivée de $sin x$ ; simplifie les termes qui s'annulent.

Étudie le signe de $f^{'} (x) = - x sin x$ sur $] 0; π [$ en observant les signes de $x$ et de $sin x$ séparément.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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