Dérivabilité à droite de 0 et variations de $x-2\sqrt{x}$

Intermédiaire
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Énoncé

Soit la fonction définie par .

  1. Déterminer puis calculer .
  2. a) Étudier la dérivabilité de à droite de . b) Donner une interprétation géométrique du résultat.
  3. Déterminer puis étudier les variations de sur , dresser le tableau de variations et déterminer les extremums éventuels.

Indices

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1 Indice 1
Pour trouver le domaine de définition $D_f$, demande-toi pour quelles valeurs de $x$ l'expression $\sqrt{x}$ existe. Pour la limite en $+\infty$, factorise par $x$ en écrivant $f(x) = x\left(1 - \dfrac{2}{\sqrt{x}}\right)$.
2 Indice 2
Pour étudier la dérivabilité à droite de $0$, calcule $\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0}$. Simplifie d'abord cette expression en remplaçant $f(x)$ et $f(0)$, puis étudie son comportement quand $x$ se rapproche de $0$ par valeurs positives.

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La méthode — par où commencer

Pour trouver le domaine de définition , demande-toi pour quelles valeurs de l'expression existe. Pour la limite en , factorise par en écrivant .

Pour étudier la dérivabilité à droite de , calcule . Simplifie d'abord cette expression en remplaçant et , puis étudie son comportement quand se rapproche de par valeurs positives.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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