Soit f la fonction définie sur R par : f ( x ) = x 2 + x 1 si x ≥ 1 et f ( x ) = x 2 + x si x < 1 . Montrer que f est continue en 1 . Étudier la dérivabilité de f à droite en 1 et interpréter géométriquement le résultat. Étudier la dérivabilité de f à gauche en 1 et interpréter géométriquement le résultat. f est-elle dérivable en 1 ?

Dérivabilité à gauche et à droite en un point de raccordement

Intermédiaire

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par :

$f (x) = x^{2} + \frac{1}{x}$ si $x \geq 1$ et $f (x) = x^{2} + x$ si $x < 1$ .

Montrer que $f$ est continue en $1$ .
Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $1$ et interpréter géométriquement le résultat.
Étudier la dérivabilité de $f$ à gauche en $1$ et interpréter géométriquement le résultat.
$f$ est-elle dérivable en $1$ ?

Indices

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1 Indice 1

Pour montrer la continuité en $1$, calcule d'abord $f(1)$ avec la formule qui convient, puis compare avec les limites à gauche $\lim_{x\to 1^-}f(x)$ et à droite $\lim_{x\to 1^+}f(x)$.

2 Indice 2

Pour la dérivabilité, forme le taux d'accroissement $\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}$ avec chaque formule : à droite utilise $x^2+\dfrac{1}{x}$, à gauche utilise $x^2+x$. Factorise bien le numérateur dans chaque cas avant de calculer la limite.

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La méthode — par où commencer

Pour montrer la continuité en $1$ , calcule d'abord $f (1)$ avec la formule qui convient, puis compare avec les limites à gauche $x \to 1^{-} lim f (x)$ et à droite $x \to 1^{+} lim f (x)$ .

Pour la dérivabilité, forme le taux d'accroissement $\frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1}$ avec chaque formule : à droite utilise $x^{2} + \frac{1}{x}$ , à gauche utilise $x^{2} + x$ . Factorise bien le numérateur dans chaque cas avant de calculer la limite.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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