Dérivabilité à droite et à gauche d'une fonction définie par morceaux

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Soit la fonction définie sur par :

  1. Vérifier que est continue en .
  2. Étudier la dérivabilité de à droite en , puis donner une interprétation géométrique du résultat.
  3. Étudier la dérivabilité de à gauche en , puis donner une interprétation géométrique du résultat.

Indices

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1 Indice 1
Pour vérifier la continuité en $1$, commence par calculer $f(1)$ avec la première expression, puis compare avec les limites à droite et à gauche en $1$.
2 Indice 2
Pour la dérivabilité, écris le taux d'accroissement $\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}$ pour chaque côté. À droite, factorise le numérateur $x^3-2x+1$ en cherchant $(x-1)$ comme facteur.

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La méthode — par où commencer

Pour vérifier la continuité en , commence par calculer avec la première expression, puis compare avec les limites à droite et à gauche en .

Pour la dérivabilité, écris le taux d'accroissement pour chaque côté. À droite, factorise le numérateur en cherchant comme facteur.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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