Soit f la fonction définie sur R par : ⎩ ⎨ ⎧ f ( x ) = x − 5 x 2 − 6 x + 5 f ( 5 ) = 4 si x  = 5 Vérifier que x → 5 lim f ( x ) = f ( 5 ) . Montrer que f est dérivable en x 0 = 5 . Déterminer l'équation de la tangente ( T ) à ( C f ) au point d'abscisse 5 . Donner l'approximation affine de f au voisinage de 5 . En déduire une valeur approchée de f ( 5 , 001 ) .

Dérivabilité en un point, tangente et approximation affine

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Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par :

$⎩ ⎨ ⎧ f (x) = \frac{x ^{2} - 6 x + 5}{x - 5} f (5) = 4 si x \neq = 5$

Vérifier que $x \to 5 lim f (x) = f (5)$ .
Montrer que $f$ est dérivable en $x_{0} = 5$ .
Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ à $(C_{f})$ au point d'abscisse $5$ .
Donner l'approximation affine de $f$ au voisinage de $5$ .
En déduire une valeur approchée de $f (5, 001)$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour calculer la limite en $5$, commence par factoriser le numérateur $x^2-6x+5$. Cherche deux nombres dont le produit vaut $5$ et la somme $-6$, tu pourras alors simplifier la fraction.

2 Indice 2

Pour étudier la dérivabilité en $5$, calcule le taux d'accroissement $\dfrac{f(x)-f(5)}{x-5}$ pour $x \neq 5$. Remplace $f(x)$ par sa forme simplifiée $(x-1)$ et $f(5)$ par $4$, puis simplifie.

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Pour calculer la limite en $5$ , commence par factoriser le numérateur $x^{2} - 6 x + 5$ . Cherche deux nombres dont le produit vaut $5$ et la somme $- 6$ , tu pourras alors simplifier la fraction.

Pour étudier la dérivabilité en $5$ , calcule le taux d'accroissement $\frac{f ( x ) - f ( 5 )}{x - 5}$ pour $x \neq = 5$ . Remplace $f (x)$ par sa forme simplifiée $(x - 1)$ et $f (5)$ par $4$ , puis simplifie.

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