Énoncé On pose A = { 4 π + 5 2 k π / k ∈ Z } et B = { 2 π + 5 2 k π / k ∈ Z } . Montrer que A ∩ B = ∅ . On pose C = {( n ; n 2 ) / n ∈ N } et D = {( 2 n ; n ) / n ∈ N } . Montrer que C ∩ D = {( 0 ; 0 )} .

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Difficile

Énoncé

On pose $A = {\frac{π}{4} + \frac{2 k π}{5} / k \in Z}$ et $B = {\frac{π}{2} + \frac{2 k π}{5} / k \in Z}$ . Montrer que $A \cap B = \emptyset$ .
On pose $C = {(n; n^{2}) / n \in N}$ et $D = {(2 n; n) / n \in N}$ . Montrer que $C \cap D = {(0; 0)}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, suppose par l'absurde qu'un élément $x$ appartient à $A \cap B$ et écris l'égalité correspondante entre les deux formes.

2 Indice 2

Simplifie cette égalité pour obtenir une relation entre $k - k'$ et une fraction non entière : conclus à une contradiction.

3 Indice 3

Pour la question 2, vérifie d'abord que $(0;0)$ appartient bien aux deux ensembles, puis pose $(x;y) = (n;n^2) = (2m;m)$ et résous le système en $n$ et $m$.

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Pour la question 1, suppose par l'absurde qu'un élément $x$ appartient à $A \cap B$ et écris l'égalité correspondante entre les deux formes.

Simplifie cette égalité pour obtenir une relation entre $k - k^{'}$ et une fraction non entière : conclus à une contradiction.

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