Ensembles de points du plan et factorisation

Énoncé

On pose $F=\{(x;y)\in {\mathbb{R}}^2/x+y=0\}$ et $E=\{(x;y)\in {\mathbb{R}}^2/x^2-2y^2-xy=0\}$.

1. a) Montrer que pour tout $(x;y)\in {\mathbb{R}}^2$ : $x^2-2y^2-xy=(x+y)(x-2y)$.
   b) Montrer que $E\ne \varnothing$ et $F\subset E$.

2. a) Déterminer un réel $y$ tel que $(1;y)\in E$.
   b) A-t-on $E=F$ ? Justifier.

3. Déterminer un ensemble $G$ vérifiant $E=F\cup G$.

4. Écrire en extension l'ensemble $E\cap {\mathbb{Z}}^2$ restreint aux couples $(x;y)$ avec $|x|\le 2$ et $|y|\le 1$.