Énoncé On pose A = { n ∈ N / 2 n − 1 4 n 2 − 4 n + 10 ∈ Z } et B = { n ∈ N / n − 5 n + 10 ∈ Z } . Montrer que pour tout n ∈ N ∖ { 5 } : n − 5 n + 10 = 1 + n − 5 15 . Montrer que pour tout n ∈ N : 2 n − 1 4 n 2 − 4 n + 10 = 2 n − 1 + 2 n − 1 9 . Déterminer en extension A , B , A ∩ B , A ∪ B , A ∖ B , B ∖ A et A △ B .

Quotients entiers et opérations sur les ensembles

Difficile

Énoncé

On pose $A = {n \in N / \frac{4 n ^{2} - 4 n + 10}{2 n - 1} \in Z}$ et $B = {n \in N / \frac{n + 10}{n - 5} \in Z}$ .

Montrer que pour tout $n \in N ∖ {5}$ : $\frac{n + 10}{n - 5} = 1 + \frac{15}{n - 5}$ .
Montrer que pour tout $n \in N$ : $\frac{4 n ^{2} - 4 n + 10}{2 n - 1} = 2 n - 1 + \frac{9}{2 n - 1}$ .
Déterminer en extension $A$ , $B$ , $A \cap B$ , $A \cup B$ , $A ∖ B$ , $B ∖ A$ et $A △ B$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour les questions 1 et 2, fais une division euclidienne (ou ajoute et retranche un terme) pour faire apparaître un reste constant divisé par le dénominateur.

2 Indice 2

Une fraction est un entier si et seulement si le dénominateur divise le numérateur constant obtenu ; liste les diviseurs de ce nombre.

3 Indice 3

N'oublie pas la contrainte $n\\in\\mathbb{N}$ pour éliminer les valeurs négatives, puis calcule les opérations ensemblistes une par une.

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Pour les questions 1 et 2, fais une division euclidienne (ou ajoute et retranche un terme) pour faire apparaître un reste constant divisé par le dénominateur.

Une fraction est un entier si et seulement si le dénominateur divise le numérateur constant obtenu ; liste les diviseurs de ce nombre.

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