Différence symétrique : propriétés

Difficile
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Soient , et des parties d'un ensemble . La différence symétrique est .

  1. Montrer que .

  2. Montrer que .

  3. Montrer que .

Indices

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1 Indice 1
Pour la question 1, montre que $x\in A\triangle B$ équivaut à "$x$ appartient à exactement l'un des deux ensembles", ce qui revient à $x\in A\cup B$ et $x\notin A\cap B$.
2 Indice 2
Pour la question 2, utilise le résultat $\overline{X}\setminus\overline{Y}=Y\setminus X$ pour réécrire $\overline{A}\triangle\overline{B}$.
3 Indice 3
Pour la question 3, utilise l'associativité de $\triangle$, le fait que $A\triangle A=\varnothing$ et que $\varnothing$ est neutre : compose l'égalité $A\triangle B=A\triangle C$ à gauche par $A$.

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La méthode — par où commencer

Pour la question 1, montre que équivaut à " appartient à exactement l'un des deux ensembles", ce qui revient à et .

Pour la question 2, utilise le résultat pour réécrire .

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