Propriétés de l'image réciproque : réunion et intersection

Difficile
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Énoncé

Soit une application, et , deux parties de . Montrer les deux égalités :

  1. .
  2. .

Indices

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1 Indice 1
Pour prouver une égalité entre deux ensembles, montre une double inclusion, ou mieux ici, procède par équivalences successives à partir de $x \in f^{-1}(B_1\cup B_2)$.
2 Indice 2
Rappelle la définition de l'image réciproque : $x \in f^{-1}(B) \Leftrightarrow f(x) \in B$, et applique-la à chaque étape.
3 Indice 3
Traduis « $f(x) \in B_1 \cup B_2$ » par « $f(x)\in B_1$ ou $f(x)\in B_2$ », puis retraduis chaque condition en termes d'appartenance à $f^{-1}(B_1)$ et $f^{-1}(B_2)$.

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La méthode — par où commencer

Pour prouver une égalité entre deux ensembles, montre une double inclusion, ou mieux ici, procède par équivalences successives à partir de .

Rappelle la définition de l'image réciproque : , et applique-la à chaque étape.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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