Composée injective ou surjective : conséquences sur f et g

Difficile
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Énoncé

Soit et deux applications.

  1. Montrer que si est injective, alors est injective.
  2. Montrer que si est surjective, alors est surjective.
  3. Donner un exemple où est bijective sans que soit surjective.

Indices

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1 Indice 1
Pour l'injectivite de $f$, suppose $f(x_1) = f(x_2)$ et applique $g$ des deux cotes pour utiliser l'injectivite de $g \circ f$.
2 Indice 2
Pour la surjectivite de $g$, prends un element quelconque $z$ de $G$ et utilise la surjectivite de $g \circ f$ pour trouver un antecedent, puis pose $y = f(x)$.
3 Indice 3
Pour l'exemple, cherche des ensembles $E$, $F$, $G$ de tailles differentes ou $f$ n'atteint pas tout $F$ mais ou $g \circ f$ reste bijective.

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La méthode — par où commencer

Pour l'injectivite de , suppose et applique des deux cotes pour utiliser l'injectivite de .

Pour la surjectivite de , prends un element quelconque de et utilise la surjectivite de pour trouver un antecedent, puis pose .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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