Coplanarité et non-coplanarité dans un cube de centre O

Intermédiaire
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Énoncé

est un cube de centre (centre de la diagonale principale, milieu de ).

  1. Montrer que les vecteurs , et sont coplanaires.

  2. Montrer que les vecteurs , et ne sont pas coplanaires.

Indices

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1 Indice 1
Pour montrer qu'ils sont coplanaires, place-toi dans un repère bien choisi avec $A$ comme origine et exprime chacun des trois vecteurs $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{EG}$ et $\overrightarrow{BF}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$.
2 Indice 2
Cherche maintenant si tu peux écrire $\overrightarrow{OA}$ comme combinaison linéaire des deux autres : existe-t-il des réels $a$ et $b$ tels que $\overrightarrow{OA} = a\overrightarrow{EG} + b\overrightarrow{BF}$ ? Identifie les coordonnées.

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La méthode — par où commencer

Pour montrer qu'ils sont coplanaires, place-toi dans un repère bien choisi avec comme origine et exprime chacun des trois vecteurs , et en fonction de , et .

Cherche maintenant si tu peux écrire comme combinaison linéaire des deux autres : existe-t-il des réels et tels que ? Identifie les coordonnées.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Trois vecteurs coplanaires dans un cube (milieux d'arêtes) Tous les exercices du chapitre Parallélisme de deux droites dans un tétraèdre