Équation fonctionnelle et continuité

Difficile
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Énoncé

Soit une fonction continue sur telle que .

  1. On pose , définie sur . Calculer .
  2. En déduire qu'il existe tel que . (On distinguera le cas où ne change pas de signe.)

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Exprimez $g(0)$ et $g\left(\dfrac{1}{2}\right)$ en fonction de $f(0)$, $f\left(\dfrac{1}{2}\right)$ et $f(1)$, puis utilisez l'hypothèse $f(0) = f(1)$.
2 Indice 2
Pour la question 2, si $g(0)$ et $g\left(\tfrac{1}{2}\right)$ ne sont pas nuls, que peut-on dire de leur produit sachant que leur somme est nulle ?
3 Indice 3
Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires sur $g$, qui est continue sur $\left[0,\tfrac{1}{2}\right]$.

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La méthode — par où commencer

Exprimez et en fonction de , et , puis utilisez l'hypothèse .

Pour la question 2, si et ne sont pas nuls, que peut-on dire de leur produit sachant que leur somme est nulle ?

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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