Soit f ( x ) = cos ( x ) − x définie sur R . Justifier que f est continue sur R . Calculer f ( 0 ) et f ( 2 π ) . En déduire l'existence d'une solution à l'équation cos ( x ) = x dans ] 0 , 2 π [ . Montrer que f est strictement décroissante sur [ 0 , 2 π ] (indication : taux d'accroissement et sin croissante sur [ 0 , 2 π ] ). En déduire que la solution est unique.

TVI avec fonction trigonométrique

Difficile

Soit $f (x) = cos (x) - x$ définie sur $R$ .

Justifier que $f$ est continue sur $R$ .
Calculer $f (0)$ et $f (\frac{π}{2})$ . En déduire l'existence d'une solution à l'équation $cos (x) = x$ dans $] 0, \frac{π}{2} [$ .
Montrer que $f$ est strictement décroissante sur $[0, \frac{π}{2}]$ (indication : taux d'accroissement et $sin$ croissante sur $[0, \frac{π}{2}]$ ).
En déduire que la solution est unique.

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1 Indice 1

Pour la continuité, rappelez que $\cos(x)$ et $x$ sont continues sur $\mathbb{R}$, donc leur différence aussi.

2 Indice 2

Calculez $f(0)$ et $f(\dfrac{\pi}{2})$ séparément, puis comparez leurs signes pour appliquer le TVI.

3 Indice 3

Pour la décroissance, formez le taux d'accroissement $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ et utilisez que $\cos$ est décroissante sur $[0,\dfrac{\pi}{2}]$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour la continuité, rappelez que $cos (x)$ et $x$ sont continues sur $R$ , donc leur différence aussi.

Calculez $f (0)$ et $f (\frac{π}{2})$ séparément, puis comparez leurs signes pour appliquer le TVI.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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