Limites avec paramètre

Difficile
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Énoncé

Soit et pour .

  1. Calculer .
  2. Calculer lorsque c'est une forme . Pour quelle valeur de ?
  3. Pour cette valeur de , déterminer la limite en 1 et discuter la continuité du prolongement.

Indices

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1 Indice 1
Pour la limite en $+\infty$, compare les degrés du numérateur et du dénominateur : ils sont tous les deux de degré $2$, donc regarde le rapport des coefficients dominants.
2 Indice 2
Pour que la limite en $1$ soit une forme $0/0$, il faut que le numérateur s'annule en $x=1$ : remplace $x$ par $1$ dans $x^2+ax+1$ et résous l'équation obtenue en $a$.
3 Indice 3
Une fois $a$ trouvé, factorise le numérateur (il devient un carré parfait) et simplifie par $(x-1)$ avec le dénominateur factorisé en $(x-1)(x+1)$.

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La méthode — par où commencer

Pour la limite en , compare les degrés du numérateur et du dénominateur : ils sont tous les deux de degré , donc regarde le rapport des coefficients dominants.

Pour que la limite en soit une forme , il faut que le numérateur s'annule en : remplace par dans et résous l'équation obtenue en .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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