TVI : existence d'une racine dans [1,2]

Intermédiaire
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Énoncé

Soit .

  1. Calculer et .
  2. Montrer que admet au moins une racine dans l'intervalle .
  3. Montrer que cette racine est unique dans (étudier la monotonie de ).
  4. Donner une valeur approchée de cette racine au dixième.

Indices

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1 Indice 1
Commence par calculer $f(1)$ et $f(2)$. Observe bien leurs signes : l'un est négatif, l'autre positif. Que peux-tu en déduire sur l'existence d'une valeur entre $1$ et $2$ qui annule $f$ ?
2 Indice 2
Pour l'unicité, calcule la dérivée $f'(x)$ et étudie son signe sur $[1 ; 2]$. Si $f$ est strictement monotone, combien de fois peut-elle s'annuler ?

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La méthode — par où commencer

Commence par calculer et . Observe bien leurs signes : l'un est négatif, l'autre positif. Que peux-tu en déduire sur l'existence d'une valeur entre et qui annule ?

Pour l'unicité, calcule la dérivée et étudie son signe sur . Si est strictement monotone, combien de fois peut-elle s'annuler ?

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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