Montrer que les propositions suivantes sont fausses : P 1 : ( ∀ x ∈ R ) ; x 2 = x et P 2 : ( ∀ x ∈ R ) ; x 2 ≥ x . Donner la négation de la proposition R : ( ∀ x ∈ R ) ; [ x 2 = 2 x ⇒ x = 0 ] . En déduire que R est fausse.

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Facile

Énoncé

Montrer que les propositions suivantes sont fausses : $P_{1} : (\forall x \in R); x^{2} = x$ et $P_{2} : (\forall x \in R); x^{2} \geq x$ .
Donner la négation de la proposition $R : (\forall x \in R); [x^{2} = 2 x \Rightarrow x = 0]$ .
En déduire que $R$ est fausse.

Indices

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1 Indice 1

Pour montrer qu'une proposition $\forall x$ est fausse, il suffit de trouver un seul contre-exemple. Pour $P_1$, teste avec un nombre négatif, par exemple $x = -1$. Pour $P_2$, essaie avec un nombre compris entre $0$ et $1$.

2 Indice 2

Pour la négation de $R$, rappelle-toi que $\overline{(A \Rightarrow B)}$ s'écrit $(A \text{ et } \overline{B})$. Ensuite, résous l'équation $x^2 = 2x$ en factorisant : quelles sont les deux solutions ?

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Pour montrer qu'une proposition $\forall x$ est fausse, il suffit de trouver un seul contre-exemple. Pour $P_{1}$ , teste avec un nombre négatif, par exemple $x = - 1$ . Pour $P_{2}$ , essaie avec un nombre compris entre $0$ et $1$ .

Pour la négation de $R$ , rappelle-toi que $\overline{(A \Rightarrow B)}$ s'écrit $(A et \overline{B})$ . Ensuite, résous l'équation $x^{2} = 2 x$ en factorisant : quelles sont les deux solutions ?

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