Montrer que les propositions suivantes sont fausses : P 1 : ( ∀ x ∈ R ) : x 2 = x P 2 : ( ∀ x ∈ R ) : x 2 ≥ x Donner la négation de la proposition ( R ) : ( ∀ x ∈ R ) : [ x 2 = 2 x ⇒ x = 0 ] En déduire que la proposition ( R ) est fausse.

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Montrer que les propositions suivantes sont fausses :
$P_{1} : (\forall x \in R) : x^{2} = x$
$P_{2} : (\forall x \in R) : x^{2} \geq x$
Donner la négation de la proposition $(R) : (\forall x \in R) : [x^{2} = 2 x \Rightarrow x = 0]$
En déduire que la proposition $(R)$ est fausse.

Indices

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1 Indice 1

Pour montrer qu'une proposition « pour tout $x$ » est fausse, il suffit de trouver un seul contre-exemple. Pour $P_1$, teste avec un nombre négatif ; pour $P_2$, teste avec un nombre entre $0$ et $1$.

2 Indice 2

Pour la négation de $(R)$, rappelle-toi que $\overline{(\forall x, A \Rightarrow B)}$ devient $(\exists x, A \text{ et } \overline{B})$. Ensuite, résous l'équation $x^2 = 2x$ pour trouver un $x \neq 0$ qui vérifie cette condition.

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Pour montrer qu'une proposition « pour tout $x$ » est fausse, il suffit de trouver un seul contre-exemple. Pour $P_{1}$ , teste avec un nombre négatif ; pour $P_{2}$ , teste avec un nombre entre $0$ et $1$ .

Pour la négation de $(R)$ , rappelle-toi que $\overline{(\forall x, A \Rightarrow B)}$ devient $(\exists x, A et \overline{B})$ . Ensuite, résous l'équation $x^{2} = 2 x$ pour trouver un $x \neq = 0$ qui vérifie cette condition.

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