Identités du parallélogramme

Intermédiaire
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Énoncé

Soient et deux points du plan, le milieu de et un point quelconque.

  1. Montrer que .

  2. Montrer que .

  3. Montrer que .

Indices

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1 Indice 1
Pense à exprimer les vecteurs $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MB}$ en passant par le point $I$ en utilisant la relation de Chasles. Rappelle-toi que $I$ est le milieu de $[AB]$, donc $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$.
2 Indice 2
Pour la première question, développe $(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^2 + (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB})^2$ en utilisant que le carré d'une somme de vecteurs donne $\overrightarrow{u}^2 + 2\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} + \overrightarrow{v}^2$. Regroupe ensuite les termes.

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La méthode — par où commencer

Pense à exprimer les vecteurs et en passant par le point en utilisant la relation de Chasles. Rappelle-toi que est le milieu de , donc .

Pour la première question, développe en utilisant que le carré d'une somme de vecteurs donne . Regroupe ensuite les termes.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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