Soient A ( 2 ; 6 ) , B ( 8 ; 2 ) , C ( − 3 ; − 9 ) , D ( 7 ; 1 ) et H ( 5 ; 3 ) , et le cercle ( C ) : x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 60 = 0 . Calculer cos ( A B ; A C ) et sin ( A B ; A C ) . Montrer que ( C ) est le cercle circonscrit au triangle A B C , en précisant son centre et son rayon. Déterminer une équation de la hauteur ( Δ ) issue de A , puis montrer que la hauteur issue de B passe par H . En déduire que H est l'orthocentre du triangle A B C .

Orthocentre et propriétés d'un triangle

Difficile

Énoncé

Soient $A (2; 6)$ , $B (8; 2)$ , $C (- 3; - 9)$ , $D (7; 1)$ et $H (5; 3)$ , et le cercle $(C) : x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 60 = 0$ .

Calculer $cos (A B; A C)$ et $sin (A B; A C)$ .
Montrer que $(C)$ est le cercle circonscrit au triangle $A B C$ , en précisant son centre et son rayon.
Déterminer une équation de la hauteur $(Δ)$ issue de $A$ , puis montrer que la hauteur issue de $B$ passe par $H$ .
En déduire que $H$ est l'orthocentre du triangle $A B C$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour le cosinus et le sinus de l'angle orienté, utilise les formules avec le produit scalaire (pour $\\cos$) et le déterminant (pour $\\sin$) des vecteurs $\\overrightarrow{AB}$ et $\\overrightarrow{AC}$.

2 Indice 2

Pour montrer que $(C)$ est le cercle circonscrit, mets son équation sous forme canonique $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ pour trouver centre et rayon, puis vérifie que $A$, $B$, $C$ vérifient l'équation du cercle.

3 Indice 3

Pour les hauteurs, une hauteur issue d'un sommet est perpendiculaire au côté opposé : utilise un vecteur normal égal au vecteur directeur du côté opposé. Pour la question 4, montre que $H$ appartient à deux hauteurs distinctes.

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La méthode — par où commencer

Pour le cosinus et le sinus de l'angle orienté, utilise les formules avec le produit scalaire (pour $cos$ ) et le déterminant (pour $s in$ ) des vecteurs $o v er r i g h t a r r o w A B$ et $o v er r i g h t a r r o w A C$ .

Pour montrer que $(C)$ est le cercle circonscrit, mets son équation sous forme canonique $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ pour trouver centre et rayon, puis vérifie que $A$ , $B$ , $C$ vérifient l'équation du cercle.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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