On considère les points A ( 1 ; − 1 ) , B ( 3 ; 1 ) et C ( 3 ; 3 ) . Déterminer une équation de la droite ( Δ ) , hauteur du triangle A B C issue de A . Déterminer les équations des médiatrices ( L ) et ( L ′ ) des segments [ A B ] et [ A C ] . En déduire les coordonnées de K , centre du cercle circonscrit au triangle A B C .

Hauteur, médiatrices et cercle circonscrit

Difficile

Énoncé

On considère les points $A (1; - 1)$ , $B (3; 1)$ et $C (3; 3)$ .

Déterminer une équation de la droite $(Δ)$ , hauteur du triangle $A B C$ issue de $A$ .
Déterminer les équations des médiatrices $(L)$ et $(L^{'})$ des segments $[A B]$ et $[A C]$ .
En déduire les coordonnées de $K$ , centre du cercle circonscrit au triangle $A B C$ .

Indices

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1 Indice 1

La hauteur issue de $A$ est perpendiculaire à $(BC)$ : le vecteur $\overrightarrow{BC}$ est donc un vecteur normal à cette droite. Utilise l'équation cartésienne $\overrightarrow{n}\cdot(x-x_A, y-y_A)=0$.

2 Indice 2

Chaque médiatrice passe par le milieu du segment et a pour vecteur normal le vecteur du segment lui-même ; calcule d'abord les milieux, puis les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

3 Indice 3

Le centre du cercle circonscrit est l'intersection des deux médiatrices : résous le système formé par leurs deux équations cartésiennes.

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La hauteur issue de $A$ est perpendiculaire à $(B C)$ : le vecteur $B C$ est donc un vecteur normal à cette droite. Utilise l'équation cartésienne $n \cdot (x - x_{A}, y - y_{A}) = 0$ .

Chaque médiatrice passe par le milieu du segment et a pour vecteur normal le vecteur du segment lui-même ; calcule d'abord les milieux, puis les vecteurs $A B$ et $A C$ .

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